Cubo di binomio: come si calcola?

Ecco ad una nuova lezione di Soloscuola per la rubrica di matematica, oggi ci occupiamo del cubo di binomio. Si scrive così: (a+b)³ oppure (a-b)³. Sono due polinomi elevati alla terza che nello svolgimento otterranno segni diversi ma applicheranno quasi lo stesso prodotto notevole.

Il primo prodotto notevole da studiare e comprendere è il quadrato di un binomio che abbiamo studiato nelle lezioni precedenti, sarà importante per lo sviluppo di questa nuova formula.

Svolgimento cubo di un binomio

Come per le altre formule studiate sui binomi vediamo la parte numerica e la formula da imparare e applicare (prodotto notevole).

La regola del cubo di un binomio è questa: (a+b)³ o (a-b)³ sarà uguale:
1) al cubo del primo termine A³
2) più il triplo del prodotto del primo termine al quadrato per il secondo +3A²B
3) più tre volte il primo termine per il quadrato del secondo termine +3AB²
4) più il cubo del secondo termine B³.

• Queste quattro parti compongono il prodotto notevole di un binomio alla terza: (A+B)³ = A³ +3A²B + 3AB² + B³

Cosa c’entra il quadrato del binomio?

Senza applicazione del prodotto notevole, (A+B)³ si svilupperebbe così:

(A+B)*(A+B)*(A+B)

oppure

(A+B)²+(A+B).

Le prime operazioni del cubo del binomio che si svolgono riguardano i primi due (A+B) che abbiamo sottolineato. Il loro risultato si sviluppa come binomio del quadrato ma moltiplicato per un altro (A+B).

=(A² + AB + AB + B²) * (A+B)
=(A² + 2AB + B²) * (A+B)

Abbiamo risolto e unito le prime due parentesi tonde, dobbiamo portare ad un unica stringa anche la terza. Ecco che cosa succede.

• I primi termini, A² e A diventano A³
• cosa che succede anche ai secondi termini, B² e B diventano B³

+2ab * (a+b) svilupperà queste due operazioni:

1. +2AB moltiplicato per A che è uguale a +3A²B
2. +2AB moltiplicato per B che è uguale a +3AB²

Provate ad applicare queste formule e queste varie soluzioni inserendo numeri e binomi con lettere diverse. Otterrete questo risultato.

(2a+b)³
=8A³ + B³ + 12A²B + 3AB²

Primo esercizio con +

(2a-b)³
= 8A³ – B³ – 12A²B + 3AB²

Secondo esercizio con –

Per arrivare a questi risultati in autonomia è importante studiare le operazioni algebriche tra i diversi segni applicati con numeri o polinomi elevati in potenza.